集合・位相・圏 数学の言葉への最短コース 原啓介/著

集合と位相がよくわからない!という人のために、集合と位相の言葉(論理)の使い方に慣れることを目標とした。さらに最近話題の圏論を入門的に解説する。
読めば読むほど味が出る数学スルメ本!

(本書のまえがき)
数学を専門としない人が数学の専門家に質問や相談をすると,「それは何の上で定義されているのか」,「それはどこからどこへの関数なのか」としきりに尋ね返される.それは無意味に厳密だったり,些末なことにこだわっているのではない.ましてや,知識を誇ろうとしているのでもない.ただ,数学の言葉を話し,数学の言葉で考えようとしているのである.そして,その言葉とは「集合」と「写像」のことである.
本書では,数学の非専門家を対象に,いわゆる「集合と位相」,つまり,数学の言葉としての「集合」と「写像」および,その重要な性質である「位相」の基礎概念を解説する.さらに,新たに数学の言葉の仲間入りをしつつあり,分野によっては既に不可欠なものになった「圏」の概念についても,集合と写像をベースにその初歩の解説を行う.
さて,このような数学の言葉であり基礎でもある「集合と位相」を学習する場合に問題になることが2 つある.1 つは厳密さの程度の問題である.集合とは何かをつきつめれば,数学とは何か,という問題にまで到達せざるを得ない.しかし一方で,数学の非専門家はもちろん,専門家を目指す人にすら,数学の論理的根底から学ぶことは効率が良い方法とは言えない.おそらく正しい態度は,「あらゆることがらにおいて同じように厳密性を求めることをせず,それぞれの場合においてその素材に応じまたその研究に固有な程度においてする」ことだろう.そこで,本書において目指した厳密さの程度は,確固たる足がかりを感じられる程度の深さである.無論,これを言うは易しく,行うのは非常に難しい.そして,もう1 つの問題は,「集合と位相」の学習にdiciplineの意味があることである.「数学をする」とか「数学がわかる」とはどういうことかを学ぶ.

第0章 集合,位相,圏のこころ
第1章 集合
第2章 論理と集合
第3章 写像
第4章 集合の構造
第5章 R とその間の関数 位相への道程
第6章 距離空間 位相への道程2
第7章 位相
第8章 圏